A função gama é definida para todo x>0 por
Gamma(x)=integral0^+infty t^x-1 e^-t d t
Calcule Gamma(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor de Gamma(2), onde a função gama é definida para todo x > 0 por:
Gamma(x) = integral0^+infty t^x-1 e^-t , dt
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral e Funções Especiais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e aplicar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x por 2 na definição da função gama:
Gamma(2) = integral0^+infty t^2-1 e^-t , dt = integral0^+infty t , e^-t , dt
Agora, precisamos calcular essa integral: integral0^+infty t , e^-t , dt.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = t (então, du = dt)
  • dv = e^-t dt (então, v = -e^-t)

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral t , e^-t , dt = -t , e^-t + integral e^-t , dt
A próxima parte é integrar integral e^-t , dt, que é simples:
integral e^-t , dt = -e^-t + C
Então, substituindo de volta:
integral t , e^-t , dt = -t , e^-t - e^-t + C = -e^-t(t + 1) + C

Passo 5

Agora, precisamos avaliar essa expressão de 0 a +infty:
Gamma(2) = [ -e^-t(t + 1) ]0^+infty
Vamos calcular os limites:
  • Quando t to +infty:
    • e^-t to 0
    • t , e^-t to 0 (porque o exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio cresce)
    • Então, -e^-t(t + 1) to 0
  • Quando t = 0:
    • e^-0 = 1
    • t + 1 = 1
    • Então, -e^-0(0 + 1) = -1
Portanto:
Gamma(2) = 0 - (-1) = 1

Resposta

Gamma(2) = 1

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