A função gama é definida para todo
por
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor de
, onde a função gama é definida para todo
por:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral e Funções Especiais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e aplicar o método de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na definição da função gama:
Agora, precisamos calcular essa integral:
.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
-
(então, ) -
(então, )
Passo 4
Aplicando a fórmula:
A próxima parte é integrar
, que é simples:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar essa expressão de
a
:
Vamos calcular os limites:
-
Quando
: -
-
(porque o exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio cresce) - Então,
-
-
Quando
: -
-
- Então,
-
Portanto:
Resposta
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Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
f) ;
f)
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.