Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada pela função . O objetivo é esboçar essa curva e determinar o vetor tangente nos valores de
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar graficamente a curva e como calcular o vetor tangente usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a curva parametrizada . Essa é uma representação paramétrica de uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Conforme
varia, traça pontos ao longo dessa circunferência.
Passo 3
Agora, para determinar o vetor tangente em um ponto específico da curva, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. A derivada
nos dá a direção em que a curva está “movendo” naquele ponto, ou seja, o vetor tangente.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Então, o vetor tangente é .
Passo 5
Vamos agora determinar o vetor tangente nos valores de
e
.
Para
:
Então, o vetor tangente em
é
.
Para
:
Então, o vetor tangente em
é
.
Resposta
O vetor tangente à curva é:
- Em
: - Em
:
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Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.
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para quaia
e
são ortogonais.
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para quais
é paralelo ano (i) plano
, (ii) plano
, (iii) plano
.