Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (cos(t), sen(t)), t = 0, i = pi / 2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada pela função . O objetivo é esboçar essa curva e determinar o vetor tangente nos valores de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar graficamente a curva e como calcular o vetor tangente usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a curva parametrizada . Essa é uma representação paramétrica de uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Conforme varia, traça pontos ao longo dessa circunferência.

Passo 3

Agora, para determinar o vetor tangente em um ponto específico da curva, precisamos calcular a derivada de em relação a . A derivada nos dá a direção em que a curva está “movendo” naquele ponto, ou seja, o vetor tangente.

Passo 4

Calculando a derivada de :
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Vamos agora determinar o vetor tangente nos valores de e .
Para :
Então, o vetor tangente em é .
Para :
Então, o vetor tangente em é .

Resposta

O vetor tangente à curva é:
  • Em :
  • Em :

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
r(t) = (t^4, raiz(t + 1), 3/t^2)
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (t, t, t^2 - 1), t = 0, t = 1
Encontre os valores de t para quaia r(t) e r'(t) são ortogonais.
r(t) = (cos(t), sen(t))
Encontre os valores de t para quais r'(t) é paralelo ano (i) plano x y, (ii) plano y z, (iii) plano y = x.
r(t) = (t, t, t^3 - 3)