Encontre os valores de t para quaia r(t) e r'(t) são ortogonais.
r(t) = (cos(t), sen(t))

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar os valores de para os quais o vetor e sua derivada são ortogonais. Aqui, estamos trabalhando com vetores no plano cartesiano e usando conceitos de derivada de vetores e produto escalar para determinar a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada de um vetor função é calculada derivando cada uma de suas componentes em relação a .
Derivando cada componente:

Passo 3

Para determinar quando dois vetores são ortogonais, usamos o produto escalar. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero.
O produto escalar de e é:
Simplificando:

Passo 4

Obtemos a equação:
Isso significa que o produto escalar é sempre zero para qualquer valor de . Portanto, os vetores e são sempre ortogonais.

Resposta

Os vetores e são ortogonais para todos os valores de .

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