Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
Passo 1
Beleza, temos que calcular a derivada da função vetorial
. Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer como derivar funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes em relação a
. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Vamos começar derivando a primeira componente:
. Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então:
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica
:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. A derivada de
em relação a
é
, e aplicamos a regra da cadeia novamente.
Então:
Passo 5
Por fim, vamos derivar a terceira componente:
. Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então:
Usando a identidade trigonométrica
, simplificamos:
Resposta
A derivada da função vetorial
é:
Exercícios relacionados
Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
f) ;
f)
Determine todos os valores de
para quais a função vetorial é contínua.
A função gama é definida para todo
por
Calcule
.
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de
.