Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
r(t) = (sen(t^2)^2, 2 cos(2t), cos(t) sen(t))

Passo 1

Beleza, temos que calcular a derivada da função vetorial . Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer como derivar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes em relação a . Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira componente: . Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então:
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: . A derivada de em relação a é , e aplicamos a regra da cadeia novamente.
Então:

Passo 5

Por fim, vamos derivar a terceira componente: . Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então:
Usando a identidade trigonométrica , simplificamos:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

Exercícios relacionados

Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
f) lim x -infty 4 x^3+2 x^2-58 x^3+x+2 i) lim x +infty raizx^2+4x+4;
Determine todos os valores de t para quais a função vetorial é contínua.
r(t) = (arctan(t), raiz_cubica(t^2 - 1), t * c^3^t)
A função gama é definida para todo x>0 por
Gamma(x)=integral0^+infty t^x-1 e^-t d t
Calcule Gamma(2).
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (t, t, t^2 - 1), t = 0, t = 1