Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
f)
;
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 2.4.5, item f. A questão pede para calcular o limite de dois termos multiplicados:
Vamos precisar entender como calcular limites de funções racionais e de funções envolvendo raízes. Vamos resolver cada limite separadamente e depois multiplicar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
tende a
da função:
Quando
tende ao infinito (positivo ou negativo), os termos de maior grau dominam a expressão. Então, aqui temos
no numerador e no denominador.
Passo 3
Para facilitar, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador por
:
Agora, quando
tende a
, os termos com
,
, etc., vão a zero.
Passo 4
Simplificando, ficamos com:
Então, o primeiro limite é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o segundo limite quando
tende a
:
Para resolver isso, vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
.
Passo 6
Dividindo tudo por
:
Passo 7
Quando
tende a
, os termos
e
vão a zero. Então, simplificamos:
Portanto, o segundo limite é 1.
Passo 8
Agora, multiplicamos os dois limites que encontramos:
Resposta
O limite indicado é
.
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.