Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
f) lim x -infty 4 x^3+2 x^2-58 x^3+x+2 i) lim x +infty raizx^2+4x+4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 2.4.5, item f. A questão pede para calcular o limite de dois termos multiplicados:
limx to -infty 4x^3 + 2x^2 - 58x^3 + x + 2 times limx to +infty raizx^2 + 4x + 4
Vamos precisar entender como calcular limites de funções racionais e de funções envolvendo raízes. Vamos resolver cada limite separadamente e depois multiplicar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando 4x^3 + 2x^2 - 58x^3 + x + 2 tende a da função:
Quando tende ao infinito (positivo ou negativo), os termos de maior grau dominam a expressão. Então, aqui temos no numerador e no denominador.

Passo 3

Para facilitar, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador por 4 + 2x - 5x^38 + 1x^2 + 2x^3 :
Agora, quando tende a , os termos com , , etc., vão a zero.

Passo 4

Simplificando, ficamos com:
4 + 0 - 08 + 0 + 0 = 48 = 12
Então, o primeiro limite é .

Passo 5

Agora, vamos calcular o segundo limite quando raizx^2 + 4x + 4 tende a :
Para resolver isso, vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por .

Passo 6

Dividindo tudo por raizx^2(1 + 4x^2)x(1 + 4x) = xraiz1 + 4x^2x(1 + 4x) = raiz1 + 4x^21 + 4x :

Passo 7

Quando raiz1 + 01 + 0 = 11 = 1 tende a , os termos e vão a zero. Então, simplificamos:
Portanto, o segundo limite é 1.

Passo 8

Agora, multiplicamos os dois limites que encontramos:
12 times 1 = 12

Resposta

O limite indicado é .

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