Determine todos os valores de t para quais a função vetorial é contínua.
r(t) = (arctan(t), raiz_cubica(t^2 - 1), t * c^3^t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todos os valores de onde a função vetorial é contínua. Isso envolve entender um pouco sobre funções contínuas e como elas se comportam em cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função separadamente para ver onde elas são contínuas.
  1. Componente :
    • A função arctan é contínua para todos os números reais. Não tem nenhum valor de que faça ela “dar problema”.
  2. Componente :
    • A raiz cúbica está definida para todo número real, já que podemos tirar a raiz cúbica de qualquer número, positivo ou negativo. Então, essa parte também é contínua para todo .
  3. Componente :
    • Aqui, é uma constante. Para a função ser contínua, precisa ser positiva (porque números negativos ou zero podem causar problemas com exponenciais). Supondo que , a expressão é contínua para todo . Multiplicar por não afeta a continuidade.

Passo 3

Como todas as componentes da função vetorial são contínuas para todo valor de (desde que ), a função vetorial inteira também será contínua para esses valores.

Resposta

A função vetorial é contínua para todos os valores de reais, isto é, para todo .

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