Calcule a derivada das seguintes funções
(4 + sen(3 x))^{x^2}

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas de funções compostas e derivação de funções exponenciais com base e expoente variáveis. Vamos precisar aplicar a derivação logarítmica, que é útil quando tanto a base quanto o expoente de uma função exponencial são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função:
Nosso objetivo é encontrar , a derivada de em relação a .

Passo 3

Para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada de é :
Aplicando a regra do produto na parte direita:

Passo 5

Vamos agora diferenciar . Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Substituindo de volta:

Passo 6

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Substituindo de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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