Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas de funções compostas e derivação de funções exponenciais com base e expoente variáveis. Vamos precisar aplicar a derivação logarítmica, que é útil quando tanto a base quanto o expoente de uma função exponencial são funções de
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa função:
Nosso objetivo é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que a derivada de
é
:
Aplicando a regra do produto na parte direita:
Passo 5
Vamos agora diferenciar
. Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Substituindo de volta:
Passo 6
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Substituindo
de volta:
Resposta
A derivada da função é:
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