Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com funções exponenciais onde a base e o expoente envolvem
. Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural e as regras de derivação de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando logaritmos, o que facilita a derivação quando a variável está no expoente. Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 3
Aplicando a propriedade dos logaritmos
, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada do logaritmo natural de uma função é dada por
:
Passo 5
Para derivar
, usamos a regra do quociente, que diz que
. Aqui,
e
:
Passo 6
Agora, voltamos à equação onde derivamos ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Substituímos
pela expressão original
:
Podemos simplificar a expressão combinando os expoentes de
:
Resposta
A derivada da função
é:
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