Calcule a derivada das seguintes funções
x^(1/x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com funções exponenciais onde a base e o expoente envolvem . Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural e as regras de derivação de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando logaritmos, o que facilita a derivação quando a variável está no expoente. Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 3

Aplicando a propriedade dos logaritmos , temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada do logaritmo natural de uma função é dada por :

Passo 5

Para derivar , usamos a regra do quociente, que diz que . Aqui, e :

Passo 6

Agora, voltamos à equação onde derivamos ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Substituímos pela expressão original :
Podemos simplificar a expressão combinando os expoentes de :

Resposta

A derivada da função é:

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