Encontre f'(x) das seguintes funções
x^3 + y^3 - 3xy + 1 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função definida pela equação . Aqui, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando está definido de forma implícita em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que, quando você deriva em relação a , também depende de , então precisamos aplicar a regra da cadeia para os termos que envolvem .

Passo 3

Derivando o termo em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia aqui:
Isso porque é uma função de , então precisamos multiplicar pela derivada de em relação a , que é .

Passo 5

Derivando o termo em relação a , aplicamos a regra do produto:
Aqui, derivamos multiplicando por e depois multiplicando pela derivada de .

Passo 6

Finalmente, derivamos o termo constante em relação a :

Passo 7

Agora, juntamos todas as derivadas:

Passo 8

Vamos isolar os termos que contêm :

Passo 9

Fatorando no lado esquerdo da equação:

Passo 10

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por 3:

Resposta

A derivada é:

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