Encontre f'(x) das seguintes funções
x^x = y^y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos , podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 5

Calculando a derivada do lado esquerdo:

Passo 6

Calculando a derivada do lado direito, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 7

Igualando as derivadas dos dois lados:

Passo 8

Isolando :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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