Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Neste exercício, precisamos calcular a derivada da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia e a diferenciação logarítmica, já que temos uma função onde a base e o expoente dependem de
. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a função de
para facilitar a manipulação:
Passo 3
Como a função está na forma de uma base elevada a um expoente que também depende de
, vamos usar a diferenciação logarítmica. Isso significa que vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, usamos a derivada do logaritmo natural, e no lado direito, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Isso resulta em:
Passo 5
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Substituindo
de volta, temos:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma constante real qualquer . Mostre que para todo
,
Calcule a derivada das seguintes funções
Encontre
das seguintes funções
Calcule a derivada das seguintes funções