Calcule a derivada das seguintes funções

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia e a diferenciação logarítmica, já que temos uma função onde a base e o expoente dependem de . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a função de para facilitar a manipulação:

Passo 3

Como a função está na forma de uma base elevada a um expoente que também depende de , vamos usar a diferenciação logarítmica. Isso significa que vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, usamos a derivada do logaritmo natural, e no lado direito, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Isso resulta em:

Passo 5

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Substituindo de volta, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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