Encontre f'(x) das seguintes funções
sen(x) sen(y) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, f'(x), da função dada pela equação . Vamos usar o conteúdo de Derivadas Implícitas para isso, que nos ajuda a encontrar a derivada mesmo quando as variáveis estão misturadas dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada implícita. Quando temos uma equação onde y está misturado com x, não dá pra resolver y explicitamente e depois derivar. Então, diferenciamo ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma função de x.

Passo 3

Vamos diferenciar em relação a x. Aplicando a regra do produto à esquerda:
Isso nos dá:
Aqui, usamos a derivada de sen x que é cos(x), e a derivada de que é por conta da regra da cadeia, já que y é função de x.

Passo 4

Agora, vamos isolar . Subtraímos de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Portanto, a derivada f'(x) é:

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