Calcule a derivada das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Esse exercício envolve conhecimentos de derivação de funções exponenciais e uso de logaritmos para simplificar a derivação. Vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural para resolver.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da função:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é pela regra da cadeia:
Para derivar , usaremos a regra do quociente, que diz que a derivada de é . Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Portanto, temos:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Como , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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