Calcule a derivada das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função
que envolve uma integral com limites que dependem de
. Isso faz parte do estudo das derivadas de integrais com limites variáveis, usando a Regra de Leibniz. Precisamos entender como encontrar a derivada quando tanto o limite inferior quanto o superior da integral mudam com
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites da integral e a função que está sendo integrada. Temos:
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Função integranda:
Passo 3
Para aplicar a Regra de Leibniz, lembramos que a derivada de uma integral com limites variáveis é dada por:
Ou seja, a derivada é a função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função integranda avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro,
Segundo,
Passo 5
Agora, vamos derivar os limites
e
.
Para
, usamos a regra da cadeia:
Calculando a derivada dentro:
Então,
Para
, simplificamos primeiro:
Então, a derivada é:
Passo 6
Agora, juntando tudo na fórmula da Regra de Leibniz:
Substituindo
e
e suas derivadas:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
c)
c)
Calcule as seguintes integrais definidas:
f)
f)
determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto
e é paralela à reta
.