Calcule a derivada das seguintes funções:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função que envolve uma integral com limites que dependem de . Isso faz parte do estudo das derivadas de integrais com limites variáveis, usando a Regra de Leibniz. Precisamos entender como encontrar a derivada quando tanto o limite inferior quanto o superior da integral mudam com .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da integral e a função que está sendo integrada. Temos:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
  • Função integranda:

Passo 3

Para aplicar a Regra de Leibniz, lembramos que a derivada de uma integral com limites variáveis é dada por:
Ou seja, a derivada é a função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função integranda avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro,
Segundo,

Passo 5

Agora, vamos derivar os limites e .
Para , usamos a regra da cadeia:
Calculando a derivada dentro:
Então,
Para , simplificamos primeiro:
Então, a derivada é:

Passo 6

Agora, juntando tudo na fórmula da Regra de Leibniz:
Substituindo e e suas derivadas:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas:
c)
Calcule as seguintes integrais definidas:
f)
determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto e é paralela à reta .