Calcule a derivada das seguintes funções:
b) G(x)=integralln (e^xx^2+1)^log 5(pi^x+x^pi) arctg(e^t) d t, x in(0,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função que envolve uma integral com limites que dependem de . Isso faz parte do estudo das derivadas de integrais com limites variáveis, usando a Regra de Leibniz. Precisamos entender como encontrar a derivada quando tanto o limite inferior quanto o superior da integral mudam com .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da integral e a função que está sendo integrada. Temos:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
  • Função integranda:

Passo 3

Para aplicar a Regra de Leibniz, lembramos que a derivada de uma integral com limites variáveis é dada por:
G'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Ou seja, a derivada é a função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função integranda avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro,
Segundo,

Passo 5

Agora, vamos derivar os limites b'(x) = 1ln(5) cdot ddx(pi^x + x^pi) cdot 1pi^x + x^pi e ddx(pi^x + x^pi) = pi^x ln(pi) + pi x^pi - 1 .
Para b'(x) = pi^x ln(pi) + pi x^pi - 1ln(5) cdot (pi^x + x^pi) , usamos a regra da cadeia:
a(x) = ln(e^x) - ln(x^2+1) = x - ln(x^2+1)
Calculando a derivada dentro:
a'(x) = 1 - 2xx^2+1
Então,
Para , simplificamos primeiro:
Então, a derivada é:

Passo 6

Agora, juntando tudo na fórmula da Regra de Leibniz:
G'(x) = arctan(e^b(x)) cdot b'(x) - arctan(e^a(x)) cdot a'(x)
Substituindo G'(x) = arctan(e^log5(pi^x + x^pi)) cdot (pi^x ln(pi) + pi x^pi - 1ln(5) cdot (pi^x + x^pi)) - arctan(e^x - ln(x^2+1)) cdot (1 - 2xx^2+1) e e suas derivadas:

Resposta

A derivada de G'(x) = arctan(e^log5(pi^x + x^pi)) cdot (pi^x ln(pi) + pi x^pi - 1ln(5) cdot (pi^x + x^pi)) - arctan(e^x - ln(x^2+1)) cdot (1 - 2xx^2+1) é:

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