Calcule as seguintes integrais definidas:
f)

Passo 1

Estamos lidando com a integral definida:

Vamos resolver isso usando as propriedades de funções hiperbólicas e substituição. Precisaremos usar a substituição u = tanh x, sabendo que a derivada de tanh x é sech² x.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição:

Então, a derivada de u em relação a x é:
Isso implica que:

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:

Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
- Quando :
  • Quando :
    Vamos calcular :
Então:

Passo 4

Agora, a integral fica:

Podemos fatorar o 1/3:

Passo 5

A integral de em relação a u é:

Portanto:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:

Sabemos que:
Então:

Resposta

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a)
Calcule a derivada das seguintes funções:
a)
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c)
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b)