Calcule as seguintes integrais definidas:
f) integral0^log raiz3 4^tgh x3 sech^2 x d x

Passo 1

Estamos lidando com a integral definida:
integral0^log raiz3 4^tgh x3 sech^2 x , dx
Vamos resolver isso usando as propriedades de funções hiperbólicas e substituição. Precisaremos usar a substituição u = tanh x, sabendo que a derivada de tanh x é sech² x.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição:
u = tgh x
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = sech^2 x
Isso implica que:
sech^2 x , dx = du

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral 4^u3 , du
Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
- Quando u = tgh(0) = 0:
u = tgh(log raiz3)
  • Quando tgh y = e^2y - 1e^2y + 1: tgh(log raiz3) = (raiz3)^2 - 1(raiz3)^2 + 1 = 3 - 13 + 1 = 24 = 12
    Vamos calcular :
Então:

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral0^12 4^u3 , du
Podemos fatorar o 1/3:
13 integral0^12 4^u , du

Passo 5

A integral de integral 4^u , du = 4^uln 4 + C em relação a u é:
13 [ 4^uln 4 ]0^12
Portanto:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
13 ln 4 (4^12 - 4^0)
Sabemos que:
4^12 = 2 e 4^0 = 1
Então:
13 ln 4 (2 - 1) = 13 ln 4

Resposta

13 ln 4

Exercícios relacionados