Calcule as seguintes integrais definidas:
c) integral3^4 5^3-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui estamos lidando com cálculo, especificamente com integrais envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar potências de números com expoentes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 5^3 - x = 5^3 cdot 5^-x = 125 cdot 5^-x . Podemos reescrever isso usando propriedades de expoentes:
integral3^4 125 cdot 5^-x , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função integral 5^-x , dx = 5^-xln 5^-1 = 5^-x-ln 5 = -5^-xln 5 . Lembra que a integral de 125 cdot (-5^-xln 5) = -125 cdot 5^-xln 5 em relação a é , onde é a constante de integração.
Aplicando isso à nossa função:
Multiplicando pelo 125:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de 3 a 4:
[ -125 cdot 5^-xln 5 ]3^4 = -125 cdot 5^-4ln 5 - (-125 cdot 5^-3ln 5)
Simplificando:
= 125ln 5 (5^-3 - 5^-4)

Passo 5

Vamos calcular 5^-3 = 1125 e 5^-4 = 1625 e 125ln 5 (1125 - 1625) = 125ln 5 cdot 5 - 1625 = 125ln 5 cdot 4625 = 500625 ln 5 = 45 ln 5 :
Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral é .

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