determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . A questão quer que a gente encontre os valores de para os quais a solução dessa equação tem a forma . Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e propriedades das funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Vamos assumir que a solução tem a forma . Isso significa que vamos substituir essa expressão na equação diferencial e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
  • A primeira derivada é .
  • A segunda derivada é .

Passo 4

Agora, substituímos e na equação diferencial :

Passo 5

Podemos fatorar da expressão:

Passo 6

Para que essa equação seja verdadeira para todo , o fator dentro dos parênteses deve ser igual a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática para :

Resposta

Os valores de são e .

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Calcule a derivada das seguintes funções:
b)
Calcule as seguintes integrais definidas:
c)
Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto e é paralela à reta .
Determine o domínio de e , onde e