determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
. A questão quer que a gente encontre os valores de
para os quais a solução dessa equação tem a forma
. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e propriedades das funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Vamos assumir que a solução tem a forma
. Isso significa que vamos substituir essa expressão na equação diferencial e encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
- A primeira derivada
é . - A segunda derivada
é .
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Podemos fatorar
da expressão:
Passo 6
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, o fator dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática para
:
Resposta
Os valores de
são
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
b)
b)
Calcule as seguintes integrais definidas:
c)
c)
Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto
e é paralela à reta
.
Determine o domínio de
e
, onde
e