Calcule a derivada das seguintes funções.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de derivadas, especificamente lidando com funções que têm uma base e um expoente que dependem da variável
. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando temos potências onde a base e o expoente são funções de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Assim:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
No lado direito, precisamos usar a regra do produto porque temos duas funções multiplicando:
e .
Passo 5
Aplicando a regra do produto no lado direito:
Passo 6
Vamos calcular cada derivada separadamente.
Primeiro,
:
Segundo, :
Passo 7
Substituindo essas derivadas na expressão anterior:
Passo 8
Agora, lembre-se da equação que obtivemos ao derivar os logaritmos:
Para encontrar
, basta multiplicar ambos os lados por
:
Passo 9
Finalmente, substituímos
pela expressão original :
Resposta
A derivada da função é:
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