Calcule a derivada das seguintes funções.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de derivadas, especificamente lidando com funções que têm uma base e um expoente que dependem da variável . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando temos potências onde a base e o expoente são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Assim:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
No lado direito, precisamos usar a regra do produto porque temos duas funções multiplicando: e .

Passo 5

Aplicando a regra do produto no lado direito:

Passo 6

Vamos calcular cada derivada separadamente.
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão anterior:

Passo 8

Agora, lembre-se da equação que obtivemos ao derivar os logaritmos:
Para encontrar , basta multiplicar ambos os lados por :

Passo 9

Finalmente, substituímos pela expressão original :

Resposta

A derivada da função é:

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