Calcule a derivada das seguintes funções.
(i) y = raiz((x - 3)^4 * (x^2 + 1) / (2*x + 5)^3)

Passo 1

Beleza, temos que calcular a derivada da função . Basicamente, vamos mexer com derivadas de funções que envolvem raízes, potências e frações. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e algumas regras básicas de derivação de potências e quocientes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeitinho mais fácil de derivar usando expoentes fracionários. A raiz quinta pode ser escrita como uma potência com expoente . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes internas da função para aplicar a regra da cadeia. Vamos chamar a parte dentro dos parênteses de :
Então, nossa função fica:

Passo 4

Vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a vezes a derivada de em relação a :
Primeiro, calculamos :
Agora, vamos calcular . Como é uma fração que envolve produto e potências, vamos usar a regra do quociente:
Agora, derivamos cada parte:
Para , usamos a regra do produto:
E para , usamos a regra da potência:

Passo 5

Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar um pouco mais, mas para manter a resposta clara, vamos deixar nessa forma.

Resposta

A derivada da função é:

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