Calcule a derivada das seguintes funções.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, temos que calcular a derivada da função
. Basicamente, vamos mexer com derivadas de funções que envolvem raízes, potências e frações. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e algumas regras básicas de derivação de potências e quocientes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de um jeitinho mais fácil de derivar usando expoentes fracionários. A raiz quinta pode ser escrita como uma potência com expoente
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes internas da função para aplicar a regra da cadeia. Vamos chamar a parte dentro dos parênteses de
:
Então, nossa função fica:
Passo 4
Vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de
em relação a
é a derivada de
em relação a
vezes a derivada de
em relação a
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, vamos calcular
. Como
é uma fração que envolve produto e potências, vamos usar a regra do quociente:
Agora, derivamos cada parte:
Para
, usamos a regra do produto:
E para
, usamos a regra da potência:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar um pouco mais, mas para manter a resposta clara, vamos deixar nessa forma.
Resposta
A derivada da função é:
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Mostre que
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
.
Calcule a derivada das seguintes funções.
(k)
(k)
Calcule a derivada das seguintes funções.
(b)
(b)