Calcule a derivada das seguintes funções.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a derivada de funções exponenciais com variáveis no expoente. Vamos precisar entender como derivar
e para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a função
é o produto de duas funções:
e . Para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Passo 3
Vamos começar derivando
. Para isso, é mais fácil reescrever
usando a função exponencial e o logaritmo natural:
Agora, derivamos
usando a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Aqui, usamos a regra do produto novamente:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 5
Voltando à derivada de
:
Passo 6
Agora, vamos derivar . A derivada de é:
Passo 7
Aplicando a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada da função é:
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(h)
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(b)
(b)
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(l)
(l)
Calcule o limite:
.