Calcule a derivada das seguintes funções.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a derivada de funções exponenciais com variáveis no expoente. Vamos precisar entender como derivar e para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função é o produto de duas funções: e . Para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:

Passo 3

Vamos começar derivando . Para isso, é mais fácil reescrever usando a função exponencial e o logaritmo natural:
Agora, derivamos usando a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, precisamos derivar . Aqui, usamos a regra do produto novamente:
Sabemos que e . Então:

Passo 5

Voltando à derivada de :

Passo 6

Agora, vamos derivar . A derivada de é:

Passo 7

Aplicando a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada da função é:

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(h)
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(l)
Calcule o limite: .