Calcule a derivada das seguintes funções : f(x) = (2 x)^(e^x)

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas de funções que têm uma base e um expoente que também são funções de . Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica e as regras de derivação de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a diferenciação logarítmica. Essa técnica é útil quando temos uma função onde tanto a base quanto o expoente dependem de . Vamos começar tirando o logaritmo natural de ambos os lados da equação:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é :

Passo 5

Para derivar o lado direito, usaremos a regra do produto, já que temos o produto de e . A regra do produto diz que :

Passo 6

Vamos agora derivar . A derivada de é . Aqui, , então :

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:

Passo 8

Agora, para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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