Calcule a derivada das seguintes funções :
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas de funções que têm uma base e um expoente que também são funções de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica e as regras de derivação de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a diferenciação logarítmica. Essa técnica é útil quando temos uma função onde tanto a base quanto o expoente dependem de
. Vamos começar tirando o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
:
Passo 5
Para derivar o lado direito, usaremos a regra do produto, já que temos o produto de
e
. A regra do produto diz que
:
Passo 6
Vamos agora derivar
. A derivada de
é
. Aqui,
, então
:
Passo 7
Substituindo de volta na equação anterior:
Passo 8
Agora, para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é: