Calcule a derivada das seguintes funções : f(x) = (x^2 + x) * raiz(x^2 - x)

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Essas ferramentas vão nos ajudar a encontrar a derivada dessa função que é um produto de duas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas:
Como temos um produto de duas funções, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos calcular , que é a derivada de .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a derivada de .
Primeiro, reescrevemos a raiz quadrada como uma potência:
.
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia.

Passo 5

Segundo a regra da cadeia, derivamos a função externa e a função interna separadamente:
  • A derivada da função externa em relação a é .
  • A derivada da função interna é .

Passo 6

Multiplicando as derivadas da função externa e da função interna, temos:
.
Simplificando:
.

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
.
Substituindo os valores que encontramos:
.

Resposta

A derivada da função é:

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