Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial e integral, especificamente a regra de derivação de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
está fazendo. Ela define uma integral definida com limite inferior fixo em 1 e limite superior que depende de
, que é
. Para encontrar a derivada dessa função, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.
Passo 3
O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida por uma integral com um limite superior variável, a derivada dessa função em relação a
é simplesmente a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite superior.
Matematicamente, se
, então
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
- A função integranda
. - O limite superior
. - O limite inferior é uma constante, então sua derivada será zero e não afetará a derivada final.
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Então, aplicando o teorema:
Resposta
A derivada de
é:
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Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se
é uma primitiva de
tal que
, então
Calcule as seguintes integrais definidas;
Calcule a derivada das seguintes funções:
Calcule a derivada das seguintes funções: