Calcule a derivada das seguintes funções: F(x)=integral1^2 x cos ^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial e integral, especificamente a regra de derivação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. Ela define uma integral definida com limite inferior fixo em 1 e limite superior que depende de , que é . Para encontrar a derivada dessa função, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida por uma integral com um limite superior variável, a derivada dessa função em relação a é simplesmente a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite superior.
Matematicamente, se , então .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
  • A função integranda .
  • O limite superior .
  • O limite inferior é uma constante, então sua derivada será zero e não afetará a derivada final.

Passo 5

Agora, vamos calcular g'(x) = ddx(2x) = 2 , que é a derivada de em relação a :

Passo 6

Então, aplicando o teorema:
F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) = cos^2(2x) cdot 2

Resposta

A derivada de F'(x) = 2 cos^2(2x) é:

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