Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x) = (x^3 + raiz(x)) * cosec(x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que são produtos de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que ajuda a derivar expressões onde duas funções estão multiplicando uma à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Se você tem uma função que é o produto de duas outras, digamos e , então a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Passo 3

Vamos identificar as duas funções que estão se multiplicando:
Agora, vamos calcular a derivada de , que é . Para isso, usamos a Regra da Potência.
A derivada de é:
A derivada de (que é ) é:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Sabemos que a derivada de é:
Então, .

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto que mencionamos no Passo 2:
Substituindo , , e que calculamos:
Podemos simplificar um pouco:

Resposta

A derivada da função é:

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