Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é super útil para funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função para entender melhor. Podemos escrever
de uma forma que mostre claramente as camadas da função:
Aqui, temos uma função externa
onde
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra diz que, para derivar uma função composta
, a derivada é
. Ou seja, derivamos a função externa mantendo a interna igual e depois multiplicamos pela derivada da interna.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função:
- A função externa é
. A derivada dela é . - A função interna é
. Precisamos agora derivar essa função.
Passo 5
Vamos derivar a função interna
. Novamente, temos uma função composta! Aqui:
- A função externa ��
, cuja derivada é . - A função interna é
, cuja derivada é .
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, voltando à derivada da função externa
, temos:
Passo 7
Finalmente, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função é: