Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x) = cos(x^3)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é super útil para funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função para entender melhor. Podemos escrever de uma forma que mostre claramente as camadas da função:
Aqui, temos uma função externa onde .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra diz que, para derivar uma função composta , a derivada é . Ou seja, derivamos a função externa mantendo a interna igual e depois multiplicamos pela derivada da interna.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
  • A função externa é . A derivada dela é .
  • A função interna é . Precisamos agora derivar essa função.

Passo 5

Vamos derivar a função interna . Novamente, temos uma função composta! Aqui:
  • A função externa �� , cuja derivada é .
  • A função interna é , cuja derivada é .
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, voltando à derivada da função externa , temos:

Passo 7

Finalmente, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

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