Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A função que temos é
. Vamos usar conceitos de derivação, especificamente a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Para isso, vamos precisar conhecer a derivada da função logarítmica e como aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função dentro do logaritmo. Sabemos que
por causa das propriedades dos logaritmos. Então, nossa função fica:
Isso já deixa a expressão um pouco mais simples para trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, como
, a derivada é:
No nosso caso,
e
. Vamos derivar
:
Porque a derivada de
é
e a derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Isso nos dá a derivada completa da função original.
Resposta
A derivada da função é: