Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x) = (ln(x^2) + 1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A função que temos é . Vamos usar conceitos de derivação, especificamente a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Para isso, vamos precisar conhecer a derivada da função logarítmica e como aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro do logaritmo. Sabemos que por causa das propriedades dos logaritmos. Então, nossa função fica:
Isso já deixa a expressão um pouco mais simples para trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, como , a derivada é:
No nosso caso, e . Vamos derivar :
Porque a derivada de é e a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Isso nos dá a derivada completa da função original.

Resposta

A derivada da função é:

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