Calcule a derivada das seguintes funções
f(x) = cos(x) * e^(2*x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas. Para resolver, vamos precisar conhecer a derivada de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . No caso, temos duas funções multiplicadas: e .

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto, que diz que se temos duas funções e , a derivada de é:
Ou seja, a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.

Passo 4

Vamos identificar as duas funções:
Agora vamos encontrar as derivadas delas.

Passo 5

A derivada de é:
Isso porque a derivada do cosseno é menos seno.

Passo 6

A derivada de é:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 7

Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 8

Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A derivada da função é:

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