Calcule a derivada das seguintes funções
f(x) = raiz(x^3 + 1) / (e^x + 2 x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de uma função que é uma divisão de duas partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente, que ajuda a derivar funções que são divididas umas pelas outras.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador da fração.
  • Numerador (u):
  • Denominador (v):

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente.
  • Derivada do numerador (u’):
    Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz para derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
    Então,
  • Derivada do denominador (v’):
    A derivada de é e a derivada de é . Então,

Passo 4

Agora que temos e , podemos aplicar a Regra do Quociente para encontrar a derivada de .
A Regra do Quociente diz que:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar um pouco a expressão. Podemos fatorar no numerador:
Ainda podemos deixar a expressão assim, mas é possível continuar simplificando se necessário.

Resposta

A derivada da função é

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