Calcule a derivada das seguintes funções
f(x) = tan(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da função tangente e a regra de derivação apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente pode ser expressa como uma fração das funções seno e cosseno. Ou seja:
Isso é importante porque vamos usar a regra do quociente para derivar essa função.

Passo 3

A regra do quociente nos diz que, para duas funções e , a derivada de é:
Vamos aplicar essa regra na nossa função .

Passo 4

Vamos identificar e . Agora, precisamos encontrar as derivadas de e :
Isso porque a derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Substituindo esses valores na regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, temos:

Resposta

A derivada de é:

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