Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x) = cos(x) / (x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com a derivação de funções que são quocientes de duas outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divididas uma pela outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Se temos uma função que é formada pelo quociente de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que vamos precisar derivar o numerador ( ) e o denominador ( ) separadamente.

Passo 3

Vamos identificar e na função que temos:
Agora, vamos derivar cada uma dessas funções.

Passo 4

Derivando :
Derivando :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente substituindo , , e :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Então, substituindo de volta na derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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