Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se F é uma primitiva de f tal que F(1)=0, então integral0^1 f(x) d x=-F(0)

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função integral0^1 f(x) , dx = -F(0) e sua primitiva que satisfaz . Queremos verificar se a afirmação
é verdadeira. Para isso, vamos lembrar do que é uma primitiva e como a integral definida se relaciona com ela.

Passo 2

Primeiro, uma primitiva de uma função é outra função tal que para todo no domínio considerado. Isso significa que é uma antiderivada de .

Passo 3

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) de até pode ser calculada usando qualquer primitiva de como:
Isso nos diz que a integral depende dos valores da primitiva nos pontos finais do intervalo de integração.

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso caso, onde integral0^1 f(x) , dx = F(1) - F(0) e integral0^1 f(x) , dx = 0 - F(0) = -F(0) , temos:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois .

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