Calcule a derivada das seguintes funções: F(x)=integralx^2 sin ^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como derivar integrais com limites que dependem da variável .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com um limite variável, a derivada dessa função em relação a é a função integranda avaliada no limite, multiplicada pela derivada desse limite.

Passo 3

No nosso caso, a função F'(x) = -f(x) tem o limite inferior da integral sendo e o limite superior sendo 2, que é constante. A fórmula geral fica assim:
O sinal negativo aparece porque o limite com está no limite inferior.

Passo 4

Agora, identificamos a função integranda F'(x) = -sin^2 x . Aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:

Resposta

A derivada da função é .

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