Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se F é uma primitiva de f, então f'(x) = F(x).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação a ser avaliada é: "Se é uma primitiva de , então ."
Aqui, estamos lidando com o conceito de primitiva ou antiderivada, que pertence ao estudo de Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver essa questão, precisamos lembrar da relação entre uma função e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma primitiva de uma função. Se é uma primitiva de , isso significa que a derivada de em relação a é igual a . Em termos matemáticos:
Isso é a definição básica de primitiva ou antiderivada.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação da questão: "Se é uma primitiva de , então ."
A afirmação sugere que a derivada de é igual a . Vamos verificar a relação entre e :
Sabemos que:
Se quisermos encontrar , basta derivar em relação a :
Mas, pela definição de :
Isso mostra que está relacionado à segunda derivada de , não diretamente a como a afirmação sugere.

Passo 4

Portanto, a afirmação "Se é uma primitiva de , então " está incorreta. A relação correta é que a derivada de é , ou seja:
E a derivada de seria:

Resposta

A afirmação é falsa. Se é uma primitiva de , então , não .

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Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se f:[a, b] R é contínua, então F(x)=integrala^x f(t) d t é derivável em [a, b].
Calcule as seguintes integrais definidas; integral-1^1 sin ^3 x d x
Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se F é uma primitiva de f em [a, b], então F(a)=0.
Calcule a derivada das seguintes funções: F(x)=integralx^2 sin ^2 t d t