Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Aqui estamos trabalhando com o cálculo de derivadas, especificamente usando regras como a da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que temos uma função composta: o logaritmo natural
onde
. Para derivar essa função, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
A Regra da Cadeia diz que se
, então a derivada
. Aplicando isso à nossa função:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Sabemos que:
Então, substituindo na equação anterior:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Sabemos que
e
. Substituindo essas relações:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Portanto:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada de
é: