Calcule a derivada das seguintes funções:
y = ln(cotg(x))

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com o cálculo de derivadas, especificamente usando regras como a da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função composta: o logaritmo natural onde . Para derivar essa função, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz que se , então a derivada . Aplicando isso à nossa função:

Passo 4

Agora, precisamos derivar . Sabemos que:
Então, substituindo na equação anterior:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que e . Substituindo essas relações:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Portanto:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada de é:

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