Calcule a derivada das seguintes funções
.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para calcularmos a derivada da função . Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de derivadas de funções compostas, logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização. Sabemos que é o mesmo que . Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do logaritmo que diz que . Isso nos ajuda a simplificar:
Essa simplificação vai facilitar a derivação.

Passo 4

Para derivar , vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, sabemos que a derivada de em relação a é:
Aqui, e . Vamos calcular .

Passo 5

Derivando , temos:
Agora, substituímos de volta na fórmula da derivada do logaritmo.

Passo 6

Substituindo e na fórmula, temos:
Simplificando a fração, obtemos:

Passo 7

Lembrando que a nossa função original tinha um 3 na frente, multiplicamos o resultado por 3:

Resposta

A derivada da função é:

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