Verifique se os seguintes limites existem. Explique. lim x 2^- tan ^-1(12 x-4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se o limite existe. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente aplicando a função arco-tangente ( ). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da expressão dentro da função à medida que se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da 12x - 4 :
2x - 4 = 2(x - 2)
Podemos fatorar o denominador:
12(x - 2)
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
  • Se está se aproximando de 2 pela esquerda, significa que é um pouco menor que 2.
  • Portanto, é um número negativo muito pequeno.
  • Multiplicando por 2, continua sendo um número negativo muito pequeno, ou seja, está se aproximando de 0 pelo lado negativo.

Passo 4

Com 12(x - 2) 1número negativo muito pequeno -infty se aproximando de 0 pelo lado negativo, a expressão se comporta assim:
ú
Ou seja, à medida que se aproxima de 2 pela esquerda, tende a .

Passo 5

Agora, vamos considerar a função tan^-1(-infty) aplicada a esse resultado:
A função arco-tangente ( ) tem o seguinte comportamento:
  • tende a quando .
  • tende a quando .

Passo 6

Como tan^-1(12x - 4) tan^-1(-infty) = -pi2 está tendendo a , então:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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