Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. A gente está trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com regras de derivação de funções que envolvem potências e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica, que é muito útil quando a variável está no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que fique mais fácil de derivar. Sabemos que
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso é útil porque transforma potências em multiplicações, simplificando a derivação. Assim:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados em relação a
. Começando pelo lado esquerdo:
Agora, derivando o lado direito usando a regra do produto (porque temos
multiplicando
):
Passo 5
Aplicando a regra do produto no termo
:
Então,
Passo 6
Igualando as derivadas dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A derivada da função
é: