Calcule a derivada das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas de funções racionais, onde temos uma função dividida por outra. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente, que é usada exatamente para derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a
e
na regra do quociente. Aqui, podemos dizer que:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
e
. Vamos começar com
:
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Com
e
encontradas, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandir:
Primeiro, expandir:
E:
Subtraindo:
Os termos
e
se cancelam, assim:
Passo 7
Então, a derivada fica:
Podemos fatorar o numerador utilizando a identidade
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Resposta
A derivada da função é:
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Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto
dado.
, em
Para que valor de
a função
é contínua em
? Podemos afirmar que, além de contínua,
é diferenciável nesse ponto? Justifique sua resposta.