Calcule a derivada das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas de funções racionais, onde temos uma função dividida por outra. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente, que é usada exatamente para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a e na regra do quociente. Aqui, podemos dizer que:

Passo 3

Agora, precisamos derivar e . Vamos começar com :
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar :
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 5

Com e encontradas, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo as expressões:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandir:
E:
Subtraindo:
Os termos e se cancelam, assim:

Passo 7

Então, a derivada fica:
Podemos fatorar o numerador utilizando a identidade :
Sabemos que , então:
Portanto:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das seguintes funções.

Universidade do Estado do Rio de Janeiro <br> Instituto de Matemática e Estatística <br> Professor: Mariana Martins

Lista 4 de Cálculo I (IME01-04827) - 2024.1 <br> Derivadas de funções <br> trigonométricas, regra da cadeia, derivação implícita

Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto dado.
, em
Para que valor de a função
é contínua em ? Podemos afirmar que, além de contínua, é diferenciável nesse ponto? Justifique sua resposta.