Para que valor de
a função
é contínua em
? Podemos afirmar que, além de contínua,
é diferenciável nesse ponto? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada
que muda de expressão dependendo de
ser menor que 0 ou não. O exercício quer saber para qual valor de
essa função é contínua em
. Além disso, a gente precisa ver se, nesse ponto, a função também é diferenciável. Então, vamos precisar entender sobre continuidade e diferenciabilidade de funções, especialmente em pontos onde a função muda de definição.
Passo 2
Primeiro, pra garantir que a função
seja contínua em
, os limites da função quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Agora, o limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Para que
seja contínua em 0, esses limites precisam ser iguais:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é diferenciável em
. Para isso, precisamos que a derivada pela esquerda seja igual à derivada pela direita no ponto.
A derivada de
é 1, então:
A derivada de
é
, então:
Como
, a função não é diferenciável em
.
Resposta
O valor de
que torna
contínua em
é
. Além disso, apesar de contínua, a função
não é diferenciável nesse ponto.
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dado.
, em
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? Caso não exista, justifique.
Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto
dado.
, em