Para que valor de b a função
g(x) = { x + b, se x < 0; cos(x), se x ≥ 0 }
é contínua em x = 0 ? Podemos afirmar que, além de contínua, g é diferenciável nesse ponto? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada que muda de expressão dependendo de ser menor que 0 ou não. O exercício quer saber para qual valor de essa função é contínua em . Além disso, a gente precisa ver se, nesse ponto, a função também é diferenciável. Então, vamos precisar entender sobre continuidade e diferenciabilidade de funções, especialmente em pontos onde a função muda de definição.

Passo 2

Primeiro, pra garantir que a função seja contínua em , os limites da função quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Agora, o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Para que seja contínua em 0, esses limites precisam ser iguais:

Passo 4

Agora, vamos verificar se é diferenciável em . Para isso, precisamos que a derivada pela esquerda seja igual à derivada pela direita no ponto.
A derivada de é 1, então:
A derivada de é , então:
Como , a função não é diferenciável em .

Resposta

O valor de que torna contínua em é . Além disso, apesar de contínua, a função não é diferenciável nesse ponto.

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