Calcule a derivada das seguintes funções
f(x) = e^x * senh(x) * cos^2(x) 3 pontos cada

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais, funções hiperbólicas como o seno hiperbólico ( ) e potências de funções trigonométricas como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é o produto de três funções: , e . Para derivar o produto de várias funções, usamos a regra do produto, que basicamente diz que a derivada do produto é a soma de cada função derivada vezes as outras funções não derivadas.

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto para três funções. A derivada de é:
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas individuais:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
    Aqui usamos a regra da cadeia. Se , então:

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na fórmula da regra do produto:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Passo 7

Podemos fatorar e das duas primeiras parcelas:
Lembrando que , mas vamos deixar a expressão assim para manter a clareza.

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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