Calcule a integral definida pela definição.
integral1^2(8 x^3+3 x^2) d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida de de até . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde vamos usar a antiderivada para encontrar a área sob a curva dessa função entre esses dois valores de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada de cada termo da função. A antiderivada é basicamente a operação inversa da derivada. Para uma função , a antiderivada é .

Passo 3

Vamos aplicar isso aos termos da nossa função:
  • Para integral 8x^3 dx = 8 cdot x^44 = 2x^4 :
    integral 3x^2 dx = 3 cdot x^33 = x^3
  • Para :

Passo 4

Agora, somamos as antiderivadas dos dois termos para obter a antiderivada completa da função:
integral (8x^3 + 3x^2) dx = 2x^4 + x^3 + C
Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar a constante .

Passo 5

Em seguida, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites superior e inferior e subtrair os resultados:
[2x^4 + x^3]1^2 = (2(2)^4 + (2)^3) - (2(1)^4 + (1)^3)

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  • Para 2(2)^4 + (2)^3 = 2 cdot 16 + 8 = 32 + 8 = 40 :
    2(1)^4 + (1)^3 = 2 cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3
  • Para :

Passo 7

Finalmente, subtraímos os valores obtidos:
40 - 3 = 37

Resposta

37

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