Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a derivada da função
. Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação de funções que são produtos entre si. Vamos precisar usar a regra do produto e também lembrar como derivar funções exponenciais, hiperbólicas e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que
é o produto de três funções:
-
(função exponencial) -
(função hiperbólica) -
(função trigonométrica ao quadrado)
Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto para múltiplas funções, que diz que a derivada de
é:
Passo 3
Vamos começar derivando cada uma das funções individualmente:
- Derivada de
:
A derivada de
é ela mesma.
- Derivada de
:
A derivada de
é
.
- Derivada de
:
Para derivar, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto múltiplo substituindo as derivadas encontradas:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Podemos fatorar
em todos os termos:
Passo 6
Vamos simplificar ainda mais dentro dos parênteses:
Note que
é comum nos dois primeiros termos:
Também podemos lembrar que
, mas para mantermos a expressão mais simples, podemos deixar assim ou combinar termos se necessário.
Resposta
A derivada da função é: