Calcule a derivada das seguintes funções f(x) = e^x * senh(x) * cos^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a derivada da função . Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação de funções que são produtos entre si. Vamos precisar usar a regra do produto e também lembrar como derivar funções exponenciais, hiperbólicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é o produto de três funções:
  • (função exponencial)
  • (função hiperbólica)
  • (função trigonométrica ao quadrado)
Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto para múltiplas funções, que diz que a derivada de é:

Passo 3

Vamos começar derivando cada uma das funções individualmente:
  1. Derivada de :
A derivada de é ela mesma.
  1. Derivada de :
A derivada de é .
  1. Derivada de :
    Para derivar , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto múltiplo substituindo as derivadas encontradas:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Podemos fatorar em todos os termos:

Passo 6

Vamos simplificar ainda mais dentro dos parênteses:
Note que é comum nos dois primeiros termos:
Também podemos lembrar que , mas para mantermos a expressão mais simples, podemos deixar assim ou combinar termos se necessário.

Resposta

A derivada da função é:

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