Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das funções g(x)=integralx^x^2 cos (t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo principal aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para derivar funções definidas por integrais. Vamos precisar lembrar como derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , ou seja, , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que para derivar a integral, a gente avalia a função dentro da integral nos limites superiores e inferiores, multiplica pelas derivadas desses limites e faz a subtração.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, temos a'(x) = ddx x = 1 . Aqui, a função b'(x) = ddx x^2 = 2x dentro da integral é . Os limites são:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
Vamos calcular as derivadas desses limites:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
g'(x) = cos( (x^2)^2 ) cdot 2x - cos( x^2 ) cdot 1
Simplificando os expoentes:
(x^2)^2 = x^4
Então:
g'(x) = 2x cdot cos(x^4) - cos(x^2)

Resposta

g'(x) = 2x, cos(x^4) - cos(x^2)

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