Calcule a derivada das seguintes funções:
(f) y=integral3^raizx cos tt d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Esse problema envolve principalmente o cálculo de derivadas e integrais, usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como derivar uma integral onde o limite superior é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo, especialmente a parte que trata da derivada de uma integral com limites que dependem de dydx = f(g(x)) cdot g'(x) . Se tivermos , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que a derivada da integral é a função dentro da integral avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é e o limite superior é . Precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos calcular f(g(x)) = f(raizx) = cos(raizx)raizx :
g'(x) = ddx ( x^1/2 ) = 12 x^-1/2 = 12raizx
Agora, vamos calcular , que é a derivada de :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
dydx = f(g(x)) cdot g'(x) = cos(raizx)raizx cdot 12raizx
Multiplicando as frações:
dydx = cos(raizx)2x

Resposta

A derivada de dydx = cos(raizx)2x em relação a é:

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