Calcule as integrais
(9)
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Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve técnicas de cálculo integral, especificamente a substituição, que é útil quando temos uma função e sua derivada multiplicadas. Para resolver, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável auxiliar.
Passo 2
Observamos que na integral
, temos o termo
que pode ser relacionado à derivada de
. Vamos então fazer a substituição
.
Passo 3
Com
, calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Agora, integramos
em relação a
:
Aqui,
representa a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição
, então sua velocidade é
. Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos quando
(a partícula move-se para a direita) e também os intervalos quando
(a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é computada integrando-se
. A aceleração do objeto é
.
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante é
.
(a) Ache a velocidade da partícula no instante sabendo-se que
.
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante
(a) Ache a velocidade da partícula no instante
Estime o valor das seguintes integrais:
(g)
(g)
Calcule a derivada das seguintes funções:
(b)
(b)
Calcule a derivada das seguintes funções:
(f)
(f)