Calcule as integrais
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Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de cálculo integral, especificamente a substituição, que é útil quando temos uma função e sua derivada multiplicadas. Para resolver, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável auxiliar.

Passo 2

Observamos que na integral , temos o termo que pode ser relacionado à derivada de . Vamos então fazer a substituição .

Passo 3

Com , calculamos a derivada de em relação a :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Aqui, representa a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição , então sua velocidade é . Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos quando (a partícula move-se para a direita) e também os intervalos quando (a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é computada integrando-se . A aceleração do objeto é .
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante é .
(a) Ache a velocidade da partícula no instante sabendo-se que .
Estime o valor das seguintes integrais:
(g)
Calcule a derivada das seguintes funções:
(b)
Calcule a derivada das seguintes funções:
(f)