Calcule as integrais
(9) integral cos ^4 x sen x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de cálculo integral, especificamente a substituição, que é útil quando temos uma função e sua derivada multiplicadas. Para resolver, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável auxiliar.

Passo 2

Observamos que na integral , temos o termo que pode ser relacionado à derivada de . Vamos então fazer a substituição .

Passo 3

Com dudx = -sin x Rightarrow du = -sin x , dx , calculamos a derivada de sin x , dx = -du em relação a :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos integral cos^4 x , sin x , dx = integral u^4 cdot (-du) = -integral u^4 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, integramos -integral u^4 , du = -( u^55 ) + C = -u^55 + C em relação a :
Aqui, representa a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos -u^55 + C = -cos^5 x5 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral vale .

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