Dada a função z = ln(1 + x^2 + y^2), onde x = cos(2t) e y = sen(3 t), a derivada total d/z dt é dada por.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função onde e . Nosso objetivo é encontrar a derivada total . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada, que ajuda a diferenciar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do logaritmo. Aqui, . Assim, . A derivada da função logaritmo em relação a é . Portanto, pela regra da cadeia, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar . Sabemos que , então:
Isso acontece porque estamos diferenciando cada termo em relação a .

Passo 4

Vamos encontrar e . Dado que e :
Essas são as derivadas das funções trigonométricas.

Passo 5

Substituindo e na expressão para :

Passo 6

Agora, substituímos e na expressão para :
Lembrando que e , podemos substituir de volta se quisermos.

Resposta

A derivada total é:

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