Calcule as integrais
(27) integral0^8|x^2-6 x+8| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 0 a 8. Isso envolve cálculo de integrais e funções absolutas. Para resolver, a gente vai precisar analisar onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa, dividir o intervalo de integração nesses pontos e calcular as áreas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde . Isso vai nos dizer onde a função muda de sinal.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
x^2 - 6x + 8 = 0
Podemos fatorar:
(x - 2)(x - 4) = 0
Então, as raízes são e . Esses são os pontos onde a expressão dentro do valor absoluto é zero.

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal de em cada intervalo determinado pelas raízes:
  • Para
  • Para
  • Para

Passo 5

Escolhendo valores de teste:
  • Para : (positivo)
  • Para : (negativo)
  • Para : (positivo)
Então, a função é positiva em e , e negativa em .

Passo 6

Isso significa que:
|x^2 - 6x + 8| = x^2 - 6x + 8 & se 0 <= x <= 2 -(x^2 - 6x + 8) & se 2 < x < 4 x^2 - 6x + 8 & se 4 <= x <= 8

Passo 7

Agora, vamos dividir a integral em três partes de acordo com os intervalos:
integral0^8 |x^2 - 6x + 8| dx = integral0^2 (x^2 - 6x + 8) dx + integral2^4 -(x^2 - 6x + 8) dx + integral4^8 (x^2 - 6x + 8) dx

Passo 8

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^2 (x^2 - 6x + 8) dx
Integrando termo a termo:
[x^33 - 3x^2 + 8x]0^2 = (83 - 12 + 16) - 0 = 83 + 4 = 203
Segunda integral:
integral2^4 -(x^2 - 6x + 8) dx = -integral2^4 (x^2 - 6x + 8) dx
Integrando:
- [x^33 - 3x^2 + 8x]2^4 = -((643 - 48 + 32) - (83 - 12 + 16))
Simplificando:
- (643 - 16 - (83 + 4)) = - (643 - 16 - 83 - 4) = - (563 - 20) = - (563 - 603) = - (-43) = 43
Terceira integral:
integral4^8 (x^2 - 6x + 8) dx
Integrando:
[x^33 - 3x^2 + 8x]4^8 = (5123 - 192 + 64) - (643 - 48 + 32)
Simplificando:
(5123 - 128) - (643 - 16) = 5123 - 3843 - 643 + 16 = 643 + 16 = 1123

Resposta

Somando as três partes:
203 + 43 + 1123 = 1363
Então, a integral é igual a .

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