Calcule a derivada das seguintes funções:
g) f(x) = tan(x) Comentário: Lembre que tan = sen/cos

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a derivação de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar que a tangente pode ser escrita como o quociente de seno e cosseno, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando seno e cosseno:
Isso facilita a aplicação da regra de derivação para quocientes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente, que é usada para derivar funções que são o quociente de duas outras funções. Se tivermos uma função , sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 5

Substituindo na fórmula da Regra do Quociente:
Simplificando os sinais:

Passo 6

Lembrando da identidade trigonométrica fundamental:
Substituindo na expressão:

Passo 7

A expressão é equivalente a . Portanto, temos:

Resposta

A derivada de é:

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