Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar uma aproximação linear em para a função e depois encontrar os valores de onde essa aproximação tem uma precisão de 0,1. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente a aproximação linear usando a derivada da função. Vamos precisar calcular a derivada de e usar a fórmula da aproximação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar a aproximação linear fornecida: . Para isso, precisamos calcular a aproximação linear da função em usando a fórmula:
Como , simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular . Substituindo na função :
Então, .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada . Vamos derivar :
Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Então, .
Passo 6
Com e , a aproximação linear em é:
Isso confirma a aproximação linear fornecida no enunciado.
Passo 7
Agora, vamos determinar os valores de para os quais a aproximação linear tem uma precisão de 0,1. Isso significa que queremos que o erro absoluto entre a função real e a aproximação linear seja menor ou igual a 0,1:
Onde e .
Passo 8
Vamos montar a desigualdade:
Isso pode ser resolvido encontrando os valores de que satisfazem essa condição. Pode ser um pouco complicado resolver analiticamente, então vamos simplificar e resolver numericamente.
Passo 9
Vamos resolver a desigualdade:
Podemos reescrever como:
Isso nos dá duas desigualdades:
Passo 10
Resolvendo numericamente essas desigualdades, encontramos que os valores de que satisfazem ambas as condições estão próximos de zero. Usando métodos numéricos ou uma calculadora, podemos determinar que:
Resposta
Os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 estão no intervalo .