P(x) é um polinômio de grau ≥ 2, tal que P(1) = 2 e P(2)=1. Sejam D(x)=(x-2)(x-1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x).
a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio de grau maior ou igual a 2, e sabemos que e . Queremos descobrir o resto da divisão de por . Para isso, vamos usar conceitos de divisão de polinômios e o teorema do resto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando dividimos um polinômio por outro polinômio , podemos escrever:
Aqui, é o quociente e é o resto da divisão. Como é um polinômio de grau 2, o resto precisa ter grau menor que 2. Ou seja, pode ser representado como:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabendo que , podemos notar que e são raízes de . Isso significa que quando substituímos e na equação , o termo se anula, ficando apenas:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na expressão de :
Para :
çã
Para :
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 1 da Equação 2:

Passo 6

Com , substituímos na Equação 1 para encontrar :

Resposta

O resto da divisão de por é:

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